Question

已知数列{an}满足Sn=n-an

Answer 1

解题思路：（1）根据S_n=n-a_n，利用递推公式，求出a₁，a₂，a₃，a₄．

（2）总结出规律求出a_n，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

（3）设出复数Z利用两个复数都是实数，求出复数Z，然后化简求解3z-z²即可．

（1）由a₁=1-a₁，得a₁=[1/2]，

由a₁+a₂=2-a₂，得a₂=[3/4]，

由a₁+a₂+a₃=3-a₃，得a₃=[7/8]，

由a₁+a₂+a₃+a₄=4-a₄，得a₄=[15/16]，

猜想a_n=

2n−1

2n

（2）证明：①当n=1，由上面计算可知猜想成立，

②假设n=k时猜想成立，即a_k=

2k−1

2k，

此时S_k=k-a_k=k-

2k−1

2k，

当n=k+1时，S_k+1=（k+1）-a_k+1，得S_k+a_k+1=（k+1）-a_k+1，

因此a_k+1=[1/2][（k+1）-S_k]=k+1-[1/2]（k-

2k−1

2k）=

2k+1−1

2k+1，

∴当n=k+1时也成立，

∴a_n=

2n−1

2n（n∈N⁺）．

（3）设复数Z=a+bi，（a，b∈R）．

因为z+2i，

z

2−i都是实数，

所以a+bi+2i是实数，所以b=-2．

[a−2i/2−i]=

(a−2i)(2+i)

(2−i)(2+i)=

2a+2+(a−4)i

5，所以a=4．

则3z-z²=3（4-2i）-（4-2i）²=12-6i-16+16i+4=10i．

点评：

本题考点： 数学归纳法；归纳推理．

考点点评： 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法．文科题目，考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，基本知识的考查．