解题思路：首先求出n的取值范围，然后设1+5n=m2（m是正整数），则n＝m2−15，这是正整数，然后对m-1和m+1进行讨论确定n的值．
由条件1+3n≤2007得，n≤668，n是正整数．
设1+5n=m2（m是正整数），则n＝
m2−1
5，这是正整数．
故可设m+1=5k，或m-1=5k（k是正整数）
①当m+1=5k时，
m2−1
5＝5k2−2k≤5k2≤668，由5k2≤668，得，k≤11
当k=12时，5k2-2k=696＞668．
所以，此时有11个满足题意的正整数n使1+5n是完全平方数；
②当m-1=5k时，n＝
m2−1
5＝5k2+2k，
又5k2-2k＜5k2+2k，且当k=11时5k2+2k=627＜668，
所以，此时有11个满足题意的正整数n使1+5n是完全平方数．
因此，满足1+3n≤2007且使1+5n使完全平方数的正整数n共有22个．
点评：
本题考点： 完全平方数．
考点点评： 本题主要考查完全平方数的知识点，解答本题的关键是对m-1和m+1进行讨论确定k的取值范围，本题难度较大．