Question

（2012•蓝山县模拟）若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数m，n．当x∈

Answer 1

解题思路：（1）求出

f(x)＝

a

x

+a−3

lna

（a＞0，且a≠1）的导数，由其导数大于0，得到f（x）在R上是增函数．

（2）由f（x）为等射函数，得到a^x-xlna+a-3=0有两个不等实根，令g（x）=a^x-xlna+a-3，求出其导数后进行分类讨论，能够求出a的取值范围．

（1）∵f(x)＝

ax+a−3

lna（a＞0，且a≠1），

∴f′(x)＝

1

lna•lna•ax=a^x＞0，

∴f（x）在R上是增函数．

（2）∵f（x）为等射函数，

∴f（x）=

ax+a−3

lna=x有两个不等实根，

即a^x-xlna+a-3=0有两个不等实根，

令g（x）=a^x-xlna+a-3，

∴g′（x）=a^xlna-lna=lna（a^x-1），

令g′（x）=0，得x=0．

①当a＞1时，x＞0时，g′（x）＞0，x＜0时，g′（x）＜0，

∴g（x）_min=g（0）=1+a-3＜0，

∴a＜2，

故1＜a＜2；

②当0＜a＜1时，x＞0时，g′（x）＞0，x＜0时，g′（x）＜0，

∴g（x）_min=g（0）=1+a-3＜0 得a＜2，

∴0＜a＜1．

综上所述，a∈（0，1）∪（1，2）．

故答案为：增函数，（0，1）∪（1，2）．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的单调性的判断和求实数的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化法和分类讨论思想的灵活运用．