设第一个数为x,第二个数为ax,则三个数为a^2x
因为后三个数是等差数列,所以最后一个数就是第三个数加上第三个与第二个的差.那么第四个数就是a^2x+a^2x-ax=(2a^-a)x
又因为后三个数的和为12,所以可得ax+a^2x+(2a^2-a)x=12,化简后得3a^2x=12,那么a^2x=4,也就是第三个数是4.
那么前两个数的和就是19-4=15.利用等比数列的性质,可知第一个数乘第三个数等于第二个数的平方.
那么可以得到一元二次方程4x=(15-x)^2,(解释一下,4就是第三个数,x就是第一个数.又知道第一二个数的和是15,那么第二个数就可以表示为15-x,所以4x=(15-x)^2）
展开括号得x^2-34x+225=0,利用因式分解,得（x-9）（x-25）=0,那么x=9或25.当x=25时,前三个数的和不为19,所以x=9,那么第二个数就是6.第四个数就是12-4-6=2
答：第四个数是2