Question

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=54|PQ|．（

Answer 1

（Ⅰ）设点Q的坐标为（x₀，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y²=2px（p＞0），

可得x₀=[8/p]，∵点P（0，4），∴|PQ|=[8/p]．

又|QF|=x₀+[p/2]=[8/p]+[p/2]，|QF|=[5/4]|PQ|，

∴[8/p]+[p/2]=[5/4]×[8/p]，求得 p=2，或 p=-2（舍去）．

故C的方程为 y²=4x．

（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，设l的方程为 x=my+1 （m≠0），

代入抛物线方程可得y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁?y₂=-4．

∴AB的中点坐标为D（2m²+1，2m），弦长|AB|=

m2+1|y₁-y₂|=4（m²+1）．

又直线l′的斜率为-m，∴直线l′的方程为 x=-[1/m]y+2m²+3．

过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，

把线l′的方程代入抛物线方程可得 y²+[4/m]y-4（2m²+3）=0，∴y₃+y₄=[?4/m]，y₃?y₄=-4（2m²+3）．

故线段MN的中点E的坐标为（[2

m2+2m²+3，

?2/m]），∴|MN|=

1+

1

m2|y₃-y₄|=

4(m2+1)