Question

（2008•虹口区一模）（1）已知：f(x)＝4x2−12x−32x+1，x∈[0，1]，求函数f（x）的单调区间和值域

Answer 1

（1）y＝f(x)＝2x+1+

4

2x+1−8，设t=2x+1，1≤t≤3

则y＝t+

4

t−8，t∈[1，3].

任取t₁、t₂∈[1，3]，且t₁＜t₂，f(t1)−f(t2)＝

(t1−t2)(t1t2−4)

t1t2，

当1≤t≤2，即0≤x≤

1

2时，f（x）单调递减；

当2＜t≤3，即

1

2＜x≤1时，f（x）单调递增．

由f(0)＝−3，f(

1

2)＝−4，f(1)＝−

11

3，得f（x）的值域为[-4，-3]．

（2）设x₁、x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，

则g（x₁）-g（x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-3a²）＞0，

所以g（x）单调递减．

（3）由g（x）的值域为：1-3a²-2a=g（1）≤g（x）≤g（0）=-2a，

所以满足题设仅需：1-3a²-2a≤-4≤-3≤-2a，

解得，1≤a≤

3

2．