本题未说明点M在上半圆还是下半圆,这是两种不同的情况,应分别讨论.为了方便,以点M在上半圆来处理.
(1)如图（1）,∵点M在上半圆,∠BMO=120°,
∴孤OMB所对的圆心角∠OCB=120°.
作CE⊥OB,则Rt△CEB的内角∠ECB=60°,
EB=1/2OB=2√3.于是CE=EB/tan60°
=(2√3)/√3=2,CB=4.即圆的半径为4.
因此圆心C的坐标为(2√3,-2).
圆的方程为（x-2√3）²+(y+2) ²=16.
令x=0,解得y=0,-4.于是A(0,-4).因此直线BA的斜
率为4/4√3=√3/3.所以直线BA的解析式为：
y=√3/3*x-4.
同时,由于点A,B,C的坐标成比例,所以AB是圆的直径.
（2）由圆的性质可知,过N点的圆的切线有两条,即满足条件的切点有P.P’两个点.
作出圆的半径CP,CP’,则△CPN和△CP’N均为直角三角形.
∵弦切角∠NPB=∠NP’B=30°.
∴∠NCP=∠NCP’=60°.
在Rt△OPB中,∠POB=30°,∠OPB=90°,
∴BP=1/2OP=4.
∴P(4√3,-4).
作P’F⊥OB于F.在Rt△P’FB中,P’B=PB=4,
∴∠PBF=∠PBA-∠ABO=60°-30°=30°.
P’F=1/2PB=1/2*4=2.FB=√3/2*PB=√3,
OF=OB-FB=4√3-√3=√3/3.
∴P(√3/3,2).
(3)这个问题就是说,满足弦BD的长是正整数的点D有几个?我们这样来处理：
①作CG⊥BD于G.在Rt△CGD中,
1/2BD=DG=CD*cosCDG=4cosCDG,
BD=8cosCDG.欲使BD为正整数,
只须cosCDG取1/8,1/4,3/8,1/2,5/8,3/4,7/8,1.此时BD=1,2,3,4,5,6,7,8.所以,这样的圆有8个.这些圆的圆心都在⊙C的直径AB上.
②在以B为圆心的圆中,和⊙C的相交弦DH恰为⊙C的直径时,圆被截得的孤是90°.但此时,ADBH是正方形.DH=8,BD=8*cos45°=4√2,不是正整数,不是上述所讨论的圆.所以,上述的⊙B中,不存在被⊙C所截得的孤是90°的情形.