Question

已知函数f（x）=sin（2ωx+π6）（ω＞0）直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1-x

Answer 1

（1）∵函数f（x）=sin（2ωx+[π/6]）（ω＞0），直线x=x₁、x=x₂是y=f（x）图象的两条对称轴，

且|x₁-x₂|的最小值为[π/2]，

∴函数的最小正周期T=2×[π/2]=[2π/2ω]，解之得ω=1，故f（x）=sin（2x+[π/6]）．

令2kπ-[π/2]≤2x+[π/6]≤2kπ+[π/2]，k∈z，求得kπ-[π/3]≤x≤kπ+[π/6]，

故函数的增区间为[kπ-[π/3]，kπ+[π/6]]，k∈z．

（2）∵f（α）=sin（2α+[π/6]）=[1/3]，α∈[-[π/3]，[π/6]]，∴2α+[π/6]∈[-[π/2]，[π/2]]，

∴cos（2α+[π/6]）=

2

2

3，

求f（α+[π/6]）=sin（2α+[π/2]）=cos2α=cos[（2α+[π/6]）-[π/6]]=cos（2α+[π/6]）cos[π/6]+sin（2α+[π/6]）sin[π/6]

=

2

3

3×

3

2+[1/2×

1

3]=

2

6+1

6．

（3）关于x的方程f（x+[π/6]）+mcosx+3=0，即 cos2x+mcosx+3=0，

即2cos²x+mcosx+2=0，在x∈（0，[π/2]）有实数解．

令cosx=t∈（0，1），则2t²+mt+2=0在（0，1）上有解．

令g（t）=2t²+mt+2，∵△=m²-16≥0，∴m≥4，或m≤-4．

由于对称轴为t=-[m/4]≥1，或 t=-[m/4]≤-1，

∵g（0）=2＞0，∴由图象可得 g（1）=m+4＜0，解得m＜-4．