如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC.

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  • 解题思路:(1)过点O作OM垂直于CA于点N,作ON垂直于CB于点N,易证四边形MCNO是矩形,利用已知条件再证明△AOM≌△BON,因为OM=ON,所以CO平分∠ACB;

    (2)因为△AOM≌△BON,所以AM=BN,进而求出CN的长,根据勾股定理即可求出OC的长.

    (1)证明:过点O作OM垂直于CA于点N,作ON垂直于CB于点N,

    ∴∠OMC=∠ONC=90°,

    ∵∠ACB=90°,

    ∴四边形MCNO是矩形,

    ∴∠MON=90°,

    ∵正方形 ABDE对角线交于点O,

    ∴OA=OB,∠AOB=90°,

    ∴∠MON-∠AON=∠AOB-∠AON,

    ∴∠AOM=∠NOB,

    ∵∠OMA=∠ONB=90°,

    在△AOM和△BON中,

    ∠AOM=∠BON

    ∠OMA=∠ONB=90°

    OA=OB,

    ∴△AOM≌△BON(AAS),

    ∴OM=ON,

    ∴CO平分∠ACB

    (2)∵△AOM≌△BON,

    ∴AM=BN,

    ∵AC=2,BC=4

    ∴CN=[AC+BC/2]=3,

    ∵∠OCN=45°,

    ∴ON=CN=3,

    由勾股定理得OC=3

    2.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.

    考点点评: 本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,解答时证明三角形全等是关键.