解题思路:(1)过点O作OM垂直于CA于点N,作ON垂直于CB于点N,易证四边形MCNO是矩形,利用已知条件再证明△AOM≌△BON,因为OM=ON,所以CO平分∠ACB;
(2)因为△AOM≌△BON,所以AM=BN,进而求出CN的长,根据勾股定理即可求出OC的长.
(1)证明:过点O作OM垂直于CA于点N,作ON垂直于CB于点N,
∴∠OMC=∠ONC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴四边形MCNO是矩形,
∴∠MON=90°,
∵正方形 ABDE对角线交于点O,
∴OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠MON-∠AON=∠AOB-∠AON,
∴∠AOM=∠NOB,
∵∠OMA=∠ONB=90°,
在△AOM和△BON中,
∠AOM=∠BON
∠OMA=∠ONB=90°
OA=OB,
∴△AOM≌△BON(AAS),
∴OM=ON,
∴CO平分∠ACB
(2)∵△AOM≌△BON,
∴AM=BN,
∵AC=2,BC=4
∴CN=[AC+BC/2]=3,
∵∠OCN=45°,
∴ON=CN=3,
由勾股定理得OC=3
2.
点评:
本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
考点点评: 本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,解答时证明三角形全等是关键.