Question

已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足 对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy)

Answer 1

为防抽,加一行汉字：

令-1 < x < y < 1,f(x) - f(y) = f( (x-y) / (1-xy))

而x - y < 0,1 - xy > 0,所以(x-y) / (1-xy) < 0.

现在再证明(x-y)/(1-xy) > -1.

(x - y) / (1 - xy) + 1 = (x - y + 1 - xy) / (1 - xy) = (1 + x)(1 - y) / (1 - xy)

显然,1 + x > 0,1 - y > 0,1 - xy > 0,所以(x - y) / (1 - xy) + 1 > 0,也即(x - y) / (1 - xy) > -1

由于-1 < (x - y) / (1 - xy) < 0,而x,y∈（-1,0）时,有f(x)＞0,所以 f( (x-y) / (1-xy)) > 0,

所以有f(x) - f(y) > 0.又由于x < y,所以可得f(x)在（-1,1）上为单调递减