解题思路：（1）由已知得GF∥EH，GF=EH．根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形EGFH是平行四边形．
（2）根据等腰梯形的性质及已知利用SAS判定△AABE≌△DCE，从而得到BE=CE，根据G、H分别是BE、CE的中点，得到EG=EH，所以有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（3）根据正方形的性质得到EG=EH，∠BEC=90°，由已知可得到EB=EC，因为F是BC的中点，所以EF⊥BC，EF=[1/2]BC．
（1）四边形EGFH是平行四边形．
理由是：∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，
∴GF∥EH，GF=EH
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）当点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
在△ABE与△DCE中，
∵
AB＝DC
∠A＝∠D
AE＝DE，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE
∵G、H分别是BE、CE的中点，
∴EG=EH
又∵由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形．
（3）EF⊥BC，EF=[1/2]BC
证明：∵四边形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°
∵G、H分别是BE、CE的中点，
∴根据中位线定理知道EB=EC，
∵F是BC的中点，E为AD的中点，
∴△BEC为等腰直角三角形，
∴EF⊥BC，EF=[1/2]BC．
点评：
本题考点： 等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的性质．
考点点评： 此题主要考查学生对等腰梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，及正方形的性质等知识点的综合运用．