由入射角=反射角知道角APB=角EPC
又因为角APB=角PAD
所以角PAD=角EPC
这样,△APD与△PCE相似有两种情况,
角C的正弦值是4/5
过D做DH垂直于BC于H
则CH=3,DH=4,BH=5,BC=8
设BP是x,则
1,角ADP=角C
由角C的余弦值知道此时角ADP是锐角,所以P在BH上
所以PH=BH-x=5-x
由正弦定理知道三角形ADP的面积是
1/2×AD×DP×sin角ADP
=1/2 × 5 × PD×4/5
=2×PD
另外三角行ADP的底为AD=5
高和DH相等为4
所以三角形ADP的面积还等于
5×4/2 = 10
这样就得到方程
2×PD= 10 => PD=5
因为PD=根号下（PH平方+DH平方）
DH=4,
所以PH=3
所以x=5-PH = 2
检验：当BP=2时
发现E点将在CD的延长线而不是CD上
所以这种情况是不符合题意的,舍去.
这是第一种情况
2,角APD=角C
这个时候就要注意了,
检验一个情况：
如果P和H重合,会怎么样?
若P,H重合,可以知道tg角APD=AD/PD=AD/HD=5/4
而tg角C=4/3
说明重合的时候角APD小于角C
又因为P从左到又移动的过程中,
角APD是一直在减小的,
这就说明此时P点仍然在BH上,
而不是在HC上,这一段论述虽然
不写也不会影响,但还是比较重要的.
那么,继续计算：
三角形ADP面积仍然用底×高/2表示,是10
同时用正弦定理表示为
1/2 × AP × PD × sin角APD
=1/2 × sin角C × AP × PD
=2/5 × AP × PD = 10
所以 AP×PD = 25
又由余弦定理,有
AD平方=AP平方+PD平方-2cos角APD×AP×PD
=AP平方+PD平方-2×AP×PD×3/5
把AP×PD=25代入,有
AD平方=AP平方+PD平方-30
所以
25=AP平方+PD平方-30
AP平方和PD平方分别可以由勾股定理用BP,PH表示
而PH=5-BP
所以可以得到以个关于BP的方程：
25=BP平方+16+PH平方+16-30
所以
BP平方+PH平方=23
BP平方+（5-BP）平方=27
解方程得BP=（5+根号21）/2
或者BP=（5-根号21）/2
检验一下,两个BP的值
都符合0