首先,令g(x)=f(x)-1,把条件写成
g(x+y)=g(x)+g(y)……(1)
g(x)+1=xg(1/x)+x……(2)
(1)称为Cauchy函数方程,一般来讲是需要额外条件(诸如连续性、单调性之类)才能得到g是线性函数,对于这个问题而言,(2)就是所谓的额外条件,所以不再需要连续性的条件.
首先,在(2)当中取x=-1得到g(-1)=-1.
再对(1)取y=-x-1得-1=g(x-x-1)=g(x)+g(-x)+g(-1),所以g(-x)=-g(x),即g是奇函数.
将(2)变形为
g(x)-x=x[g(1/x)-1/x]……(3)
如果存在a>0使得g(a)>a,那么g(1/a)>1/a,利用奇函数的性质,g(-a)=-g(a)-1/a,这样g(1/a)=-g(-1/a)0使得g(a)0时只能有g(a)=a.再利用奇函数的性质得a