Question

已知圆C经过A（1，-1），B（5，3），并且被直线m：3x-y=0平分圆的面积．

Answer 1

（Ⅰ）线段AB的中点E（3，1）， k AB =

3-(-1)

5-1 =1

故线段AB中垂线的方程为y-1=-（x-3），即x+y-4=0（2分）

由圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上

又直线3x-y=0平分圆的面积，所以直线m经过圆心

由

x+y-4=0

3x-y=0 解得

x=1

y=3 即圆心的坐标为C（1，3），（4分）

而圆的半径r=|AC|=

(1-1) 2 + [3-(-1)] 2 =4

故圆C的方程为（x-1） ²+（y-3） ²=16（6分）

（Ⅱ）由直线l的斜率为k，故可设其方程为y=kx-1（18分）

由

y=kx-1

(x-1) 2 + (y-3) 2 =16 消去y得（1+k ²）x ²-（8k+2）x+1=0

由已知直线l与圆C有两个不同的公共点

故△=（8k+2） ²-4（1+k ²）＞0，即15k ²+8k＞0

解得： k＜-

8

15 或k＞0（12分）