Question

已知函数f（x）=2x+a•2-x是定义域为R的奇函数，

Answer 1

（1）∵f（x）=2^x+a•2^-x是定义域为R的奇函数，

∴f（0）=1+a=0，∴a=-1，

经检验当a=-1时，f（x）是奇函数，故所求a=-1；

（2）由（1）可知f（x）=2^x-2^-x，

∀x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，

f(x2)−f(x1)＝(2x2−2−x2)−(2x1−2−x1)＝(2x2−2x1)(1+

1

2x1+x2)

∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，即2x2−2x1＞0

∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₂）＞f（x₁），

∴f（x）是R上的递增函数，即f（x）是R上的单调函数．

（3）∵根据题设及（2）知f（t²-2t）+f（t²-k）＞0，

等价于f（t²-2t）＞-f（t²-k）=f（k-t²），即t²-2t＞k-t²，∴2t²-2t-k＞0，

∴原不等式恒成立即是2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，∴△=4+8k＜0，

∴所求k的取值范围是k＜−

1

2．