Question

已知椭圆x^2 /3+y^2 /2=1的左右焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C

Answer 1

(1) 椭圆x²/3+y²/2=1--->F1(-1,0),F2(1,0)

AC⊥BD于P即∠F1PF2=90°--->P点轨迹为单位圆x²+y²=1

--->Xo²/3+Yo²/2＜Xo²+Yo²=1

(2) ∵P在椭圆内,∴原题应该是求四边形ACBD面积S的最小值

设AB与x正方向所成角为θ,则CD与x正方向所成角为θ+π/2

--->AB参数方程：{x=tcosθ-1,y=tsinθ}

CD参数方程：{x=1-tsinθ,y=tcosθ}

AB与椭圆方程联立：2(tcosθ-1)²+3(tsinθ)²=6

--->(3-cos²θ)t²-4tcosθ-4=0

--->t1+t2=4cosθ/(3-cos²θ),t1t2=-4/(3-cos²θ)

--->(t1-t2)²=(t1+t2)²-4t1t2=48/(3-cos²θ)²

--->|AB|=|t1-t2|=4√3/(3-cos²θ)=8√3/(5-cos2θ)

同理：|CD|=4√3/(3-sin²θ)=8√3/(5+cos2θ)

--->S=(1/2)|AB||CD|=96/(25-cos²2θ)≥96/(25-1)=4

--->θ=0或π/2即AB或CD垂直于x轴时,ABCD面积最小为4