已知,如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,CE切⊙O于C,AE⊥CE,交⊙O于D.

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  • 解题思路:(1)连结OC,根据切线的性质得OC⊥CE,而AE⊥CE,则OC∥AE,根据平行线的性质得∠1=∠3,而∠1=∠2,则∠2=∠3,根据圆周角定理得

    CD

    =

    BC

    ,即可得到DC=BC;

    (2)由于BC=DC,DC:AB=3:5,则BC:AB=3:5,根据圆周角定理由AB为直径得到∠ACB=90°,则利用正弦的定义得sin∠2=[BC/AB]=[3/5],即可得到sin∠CAE=[3/5].

    (1)证明:连结OC,如图,

    ∵CE切⊙O于C,

    ∴OC⊥CE,

    ∵AE⊥CE,

    ∴OC∥AE,

    ∴∠1=∠3,

    而OC=OA,

    ∴∠1=∠2,

    ∴∠2=∠3,

    CD=

    BC,

    ∴DC=BC;

    (2)∵BC=DC,DC:AB=3:5,

    ∴BC:AB=3:5,

    ∵AB为直径,

    ∴∠ACB=90°,

    ∴sin∠2=[BC/AB]=[3/5],

    而∠2=∠3,

    ∴sin∠3=[3/5],

    即sin∠CAE=[3/5].

    点评:

    本题考点: 切线的性质.

    考点点评: 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.也考查了圆周角定理.