Question

已知集合A={x|x=m2-n2，m∈Z，n∈Z}．求证：

Answer 1

解题思路：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；

（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．

（1）∵3=2²-1²，3∈A；

（2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m²-n²=（m+n）（m-n）成立，

1、当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数，

∴（m-n）（m+n）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾．

2、当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，

∴（m-n）（m+n）为奇数，与4k-2是偶数矛盾．

综上4k-2∉A．

点评：

本题考点： 元素与集合关系的判断．

考点点评： 本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想