Question

（2011•沙县质检）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的周长为16，边OA比OC长2．点E为边BC的中点，以OE为

Answer 1

解题思路：（1）根据矩形的性质推出OC=AB，OA=CB，代入求出即可；

（2）连接MD，ED，根据矩形的性质和三角形全等的判定定理SAS推出△OCE≌△ABE，推出OE=EA，根据等腰三角形的性质推出∠MDO=∠EAO，根据平行线的判定推出MD∥AE，得到DF⊥AE即可；

（3）①当OA=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧，交BC于P₁、P₂两点，作P₁H⊥OA于H，求出P₁H、AP₁的值，求出OH=1，即可求出P₁、P₂的坐标②当OA=OP时，同法可求P₃、P₄的坐标．

（1）∵矩形ABCO，

∴OC=AB，OA=CB，

∵OA=OC+2，

∴OC=3，OA=5．

（2）直线DF与⊙M的位置关系是：相切，

理由是：连接MD，ED．

∵矩形ABCO，

∴OC=AB，∠OCB=∠ABE=90°，

在△OCE和△ABE中

OC＝AB

∠OCB＝∠ABC

CE＝BE，

∴△OCE≌△ABE，

∴OE=EA，

∴∠EOA=∠EAO，

∵MO=MD，

∴∠MOD=∠MDO，

∴∠MDO=∠EAO，

∴MD∥AE，

∵DF⊥AE，

∴DF⊥MD，

∴直线DF与⊙M的位置关系是相切．

（3）同意，理由如下：

①当OA=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧，交BC于P₁、P₂两点，作P₁H⊥OA于H，P₁H=OC=3，AP₁=OA=5，∴OH=1，

因此P₁（1，3），P₂（9，3）；

②当OA=OP时，同法可求P₃（4，3），P₄（-4，3）．

因此在直线BC上，除了E点外，即存在⊙M内的点P₁，又存在⊙M外的点P₂、P₃、P₄，它们分别使△AOP是等腰三角形．

点评：

本题考点： 切线的判定；点的坐标；平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；矩形的性质．

考点点评： 本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质，坐标与图形性质等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度，对学生提出了较高的要求．分类讨论思想的运用．