Question

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当

Answer 1

解题思路：设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），进而可知

m

2

a

2

-

n

2

b

2

=1、又设点P的坐标为（x，y），表示出直线PM和PN的斜率，求的两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关．

类似的性质为若MN是双曲线

x2

a2-

y2

b2=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．

设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），

其中

m2

a2-

n2

b2=1、又设点P的坐标为（x，y），

由k_PM=[y−n/x−m]，k_PN=[y+n/x+m]，

得k_PM•k_PN=[y−n/x−m]•[y+n/x+m]=

y2−n2

x2−m2，

将y²=

b2

a2x²-b²，n²=

b2

a2m²-b²，代入得k_PM•k_PN=

b2

a2．

点评：

本题考点： 圆锥曲线的共同特征．

考点点评： 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．