Question

设N阶实对称矩阵A的两个相异特征值λ1和λ2分别有k个和n-k个,则证明（λ1*E-A）（λ2*E-A）=0；

Answer 1

因为实对称矩阵可对角化

所以属于特征值λ1,λ2的线性无关的特征向量分别有k个,n-k个

由这n个特征向量构成可逆矩阵P,则P满足 P^-1AP = diag(λ1,...,λ1(k个),λ2,λ2,...,λ2) = B

所以 （λ1E-A）（λ2E-A）

= (λ1E - PBP^-1)(λ2E- PBP^-1)

= P(λ1E-B)P^-1 P(λ2E-B)P^-1

= P(λ1E-B)(λ2E-B)P^-1

= P 0(零矩阵) P^-1

= 0.