Question

（2012•泸州一模）已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn-3an+2n=0（其中n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由2S_n-3a_n+2n=0①，可得2S_n+1-3a_n+1+2（n+1）②，由①②即可证得数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）求得b_n=

n

3

n

，利用错位相减法即可求得T_n；

（Ⅲ）可求得c_n═2-

1

1+

3

n

+

1

3

n+1

−1

，M_n=c₁+c₂+…+c_n=2n-[（

1

1+

3

1

-

1

3

1+1

−1

）+（

1

1+

3

2

-

1

3

2+1

−1

）+…+（

1

1+

3

n

-

1

3

n+1

−1

）]．利用放缩法与累加法即可证明结论．

（Ⅰ）证明：∵2S_n-3a_n+2n=0①，

∴2S_n+1-3a_n+1+2（n+1）②，

②-①得：2a_n+1-3（a_n+1-a_n）+2=0，

∴a_n+1=3a_n+3．

∴a_n+1+1=3（a_n+1），

∴

an+1+1

an+1=3，

又2a₁-3a₁+2=0，故a₁=2，a₁+1=3，

∴数列{a_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，

∴a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，

∴a_n=3ⁿ-1．

（Ⅱ）∵b_n=

log3(an+1)

3n=

log3(3n−1+1)

3n=[n

3n，

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1/3]+[2

32+

3

33+…+

n

3n，③

1/3]T_n=[1

32+

2

33+…+

n−1

3n+

n

3n+1④

③-④得：

2/3]T_n=[1/3]+

1

32+…+

1

3n-

n

3n+1=

3n−1

2•3

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列与不等式的综合，着重考查等比关系的确定于数列的求和，突出错位相减法与放缩法、累加法的应用，综合题性强，属于难题．