Question

已知抛物线y=x^2+bx+c在点(1,1)处切线与直线y=1/2x+2垂直,求b,c

Answer 1

与直线y=1/2x+2垂直说明切线斜率为-2

设切线为y=-2x+b

代入(1,1)

得切线方程y=-2x+3

切线与抛物线只有一个交点,所以

-2x+3=x^2+bx+c只有一个解

即x^2+(b+2)x+c-3=0只有一个解

根据b^2-4ac=0有

(b+2)^2-4(c-3)=0

又抛物线过（1,1）

所以1=1+b+c

b+c=0

因此有

(b+2)^2-4(-b-3)=0

得b=-4,c=4