(2013•广州一模)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,a2=8,Sn+1+4Sn-1=5Sn(n≥2),T

1个回答

  • 解题思路:(1)将条件中的和关系式转化为数列的项关系,判断数列的特征,再求解;

    (2)利用等差数列的前项n和公式求解即可;

    (3)利用约分消项化简左式,判断n满足的条件,分析求解即可.

    (1)∵当n≥2时,Sn+1+4Sn-1=5Sn

    ∴Sn+1-Sn=4(Sn-Sn-1).∴an+1=4an

    ∵a1=2,a2=8,∴a2=4a1

    ∴数列{an}是以a1=2为首项,公比为4的等比数列.

    ∴an=2•4n−1=22n−1.

    (2)由(1)得:log2an=log222n-1=2n-1,

    ∴Tn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+3+…+(2n-1)=

    n(1+2n−1)

    2=n2

    (3)(1−

    1

    T2)(1−

    1

    T3)•…•(1−

    1

    Tn)=(1−

    1

    22)(1−

    1

    32)•…•(1−

    1

    n2)

    =

    22−1

    22•

    32−1

    32•

    42−1

    42•…•

    n2−1

    n2=

    1•3•2•4•3•5•…•(n−1)(n+1)

    22•32•42•…•n2=[n+1/2n].

    令[n+1/2n]>

    1010

    2013,解得:n<287

    4

    7.

    故满足条件的最大正整数n的值为287.

    点评:

    本题考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的求和.

    考点点评: 本题考查了等差数列的前n项和公式,数列的项与和之间的关系及数列的综合问题.