已知[1−tanα/2+tanα]=1,求证:3sin2α=-4cos2α

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  • 解题思路:由题意可得:可得2sinα+cosα=0,要证等式成立,只要证6sinαcosα=-4(cos2α-sin2α),只要证 (2sinα+cosα)(sinα-2cosα)=0,而由上可知,(2sinα+cosα)(sinα-2cosα)=0 成立,于是命题得证.

    证明:因为[1−tanα/2+tanα]=1,

    所以tanα=-[1/2],即 2sinα+cosα=0.

    要证3sin2α=-4cos2α,只需证6sinαcosα=-4(cos2α-sin2α),

    只需证2sin2α-3sinαcosα-2cos2α=0,

    只需证(2sinα+cosα)(sinα-2cosα)=0,

    而2sinα+cosα=0,

    ∴(2sinα+cosα)(sinα-2cosα)=0显然成立,

    于是命题得证.

    点评:

    本题考点: 二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系;二倍角的余弦.

    考点点评: 本题主要考查用分析法证明三角恒等式,关键是寻找使等式成立的充分条件.