解题思路：根据题意可得出a=2010-b，继而根据a＜b可得出a的范围，由a+b=2010，c-a=2009可表示出a+b+c的值，结合a的范围可得出a+b+c的最大值．
由题意得，b=2010-a，c=2009+a，
故a+b+c=2010+2009+a=4019+a，
又∵a＜b，
∴a＜2010-a，
解得：a＜1005，a为整数，故可得a≤1004，
即a+b+c=4019+a≤4019+1004=5023．
故其最大值为5023
故答案为：5023．
点评：
本题考点： 有理数无理数的概念与运算．
考点点评： 此题考查了有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是根据题意表示出b和c，结合a＜b得出a的范围，难度一般．