Question

已知函数f（x）=e2x+（1-2t）ex+t2，求证：当x≥0时，f（x）+cosx≥x+2．

Answer 1

解题思路：令e^x=a，a≥1，f（x）=a²+（1-2t）a+t²，从而（a-t）²≥x+2-a-cosx，由（a-t）²≥0，只要证t（x）=x+2-e^x-cosx≤0即可，由此能证明当x≥0时，f（x）+cosx≥x+2．

证明：令ex=a，∵x≥0，∴a≥1，∴f（x）=a2+（1-2t）a+t2，∴a2+（1-2t）a+t2+cosx≥x+2，∴（a-t）2+cosx+a≥x+2，∴（a-t）2≥x+2-a-cosx，∵（a-t）2≥0，∴只要证t（x）=x+2-ex-cosx≤0即可，∵t′（x）=-ex+si...

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．