Question

已知椭圆x^2/2+y^2=1,M为上顶点,点F为右焦点,是否存在直线l交椭圆于A,B两点,使点F为三角形ABM垂心,若

Answer 1

由题意可知M(0,1),F(1,0),MF的方程：x+y-1=0,设A(x1,y1)B(x2,y2)

∵点F为三角形ABM垂心

∴AB⊥MF,设直线l方程：y=x+b

AF⊥BM,(x1-1)x2+(x1+b)(x2+b-1)=0,化简得

2x1x2+(b-1)(x1+x2)+b(b-1)=0

y=x+b代入椭圆x^2/2+y^2=1得3x^2+4bx+2b^2-2=0

Δ=-8b^2+24=-8(b^2-3)>0,-√3