Question

（2012•杭州一模）在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn−12)．

Answer 1

解题思路：（1）当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，代入已知整理可得S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，即

1

S

n

−

1

S

n−1

＝2

，结合等差数列的通项公式可求S_n，进而可求当n≥2时a_n，在对n=1时求a₁，从而可求a_n

（2）由于

b

n

＝

S

n

2n+1]=[1

(2n−1)(2n+1)

＝

1/2

(

1

2n−1

−

1

2n+1

)

，考虑利用裂项求和即可

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，

∴Sn2＝(Sn−Sn−1)(Sn−

1

2)＝Sn2−

1

2Sn−SnSn−1+

1

2Sn−1，

∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，

∴[1

Sn−

1

Sn−1＝2，

即数列{

1

Sn}为等差数列，S₁=a₁=1，

∴

1

Sn＝

1

S1+(n−1)×2＝2n−1，

∴Sn＝

1/2n−1]，…（4分）

当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=[1/2n−1−

1

2n−3]=[−2

(2n−1)(2n−3)

∴an＝

1，n＝1

−2

(2n−1)(2n−3)，n≥2…（8分）

（2）bn＝

Sn/2n+1]=[1

(2n−1)(2n+1)＝

1/2(

1

2n−1−

1

2n+1

点评：

本题考点： 数列的求和；数列的函数特性；等差关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了利用递推公式an＝S1，n＝1Sn−Sn−1，n≥2]求解数列的通项公式，要注意对n=1的检验是做题中容易漏掉的知识点，还考查了裂项求和方法的应用．