Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）•f（x）=1，当x∈[-2，0）时，f（x）=log2（-x+3），则f（2

Answer 1

解题思路：根据f（x+2）•f（x）=1，可以确定出函数f（x）的周期，再利用周期将2013转化到[-2，0）内，再利用x∈[-2，0）时，f（x）=log₂（-x+3），代入即可求得f（2013）的值．

∵f（x+2）•f（x）=1，

∴f（x+2）=[1

f(x)，

将x代换为x+2，则有f（x+4）=

1

f(x+2)=f（x），

∴f（x）为周期函数，周期为4，

∴f（2013）=f（503×4+1）=f（1），

∵f（x+2）=

1

f(x)，

令x=-1，则f（1）=

1

f(−1)，

∵当x∈[-2，0）时，f（x）=log₂（-x+3），

∴f（-1）=log₂（1+3）=log₂4=2，

∴f（1）=

1

f(−1)=

1/2]，

∴f（1）=[1/2]．

故答案为：[1/2]．

点评：

本题考点： 函数的周期性；抽象函数及其应用；函数的值．

考点点评： 本题考查了抽象函数及其应用，函数的求值问题．主要考查了函数的性质的应用，要能够根据所给的恒等式求出周期，解题的关键是利用周期把所求的函数值转化到已知区间上．本题还涉及了对数的运算，考查了运算化简的能力．属于中档题．