Question

如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，

Answer 1

解题思路：（1）先由题意求出P、Q两点移动的速度，再设经过t分钟，线段PQ的长度为2，用y表示出PM及QM的长，由勾股定理即可求出t的值；

（2）由（1）中PM及QM的长度即可得出线段PQ长度的平方，y与时间t之间的函数关系式及t的取值范围；

（3）由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．

∵A（2，4），

∴OM=2，AM=4，

∵点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点，

∴点P的速度度2，点Q速度的4，

（1）设经过t分钟线段PQ的长度是2，则PM=2-2t，QM=4t，

在Rt△PQM中，

∵PQ²=PM²+QM²，即2²=（2-2t）²+（4t）²，解得t=0（分）或t=0.4（分）．

答：当t=0或t=0.4时，线段PQ的长度为2；

（2）由（1）可知，PM=2-2t，QM=4t，

在Rt△PQM中，PQ²=PM²+QM²，即y=（2-2t）²+（4t）²，

整理得，y=20t²-8t+4（0≤t≤1）；

（3）存在．

∵A（2，4），

∴N（0，4），M（2，0），

∴ON=4，OM=2，

当△MON∽△PMQ时，[OM/MP]=[ON/MQ]，即[2/2−2t]=[4/4t]，解得t=0.5；

当△MON∽△QMP时，[OM/MQ]=[ON/MP]，即[2/4t]=[4/2−2t]，解得t=0.2．

故当t=0.5分或t=0.2分时P、Q、M构成的三角形与△MON相似．

点评：

本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的性质及勾股定理，根据题意用t表示出PM及QM的长度是解答此题的关键．