Question

已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为1 2 ,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．

Answer 1

（1）设椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1

∵e=1/2 ∴c=√(a^2-b^2)=a/2

∵左顶点到右焦点的距离为3

∴a+c=3 a+a/2=3 a=2 c=1 b=√3

椭圆的标准方程为：x^2/4+y^2/3=1

（2）设过点p(0,m)的直线l的方程：y=k*x+m

与x^2/4+y^2/3=1联立求出A、B坐标：

(-2[2km-√(9-3m^2+12k^2)]/(3+4k^2),[2k√(9-3m^2+12k^2)+3m]/(3+4k^2))

(-2(2km+√(9-3m^2+12k^2)]/(3+4k^2),[-2k√(9-3m^2+12k^2)+3m]/(3+4k^2))

AP=(-1/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)],-k/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)])

PB=( 1/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)],k/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)])

∵向量AP=向量3PB

∴-1/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)]=3/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)]

-k/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)]=3k/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)]

∴4km+2√(9-3m^2+12k^2)=-12km+6√(9-3m^2+12k^2)

4km=√(9-3m^2+12k^2)

16k^2m^2=9-3m^2+12k^2

(16k^2+3)m^2=9+12k^2

m^2=(9+12k^2)/(3+16k^2)