Question

在实向量空间R4中,设非空子集V={（X1,X2,X3,X4）|X1+X2+X3+X4=0}.

Answer 1

(1)对任意V中的两个x=(x1,x2,x3,x4)和y=(y1,y2,y3,y4),有 x+y=(x1+y1,x2+y2,x3+y3,x4+y4),因为

(x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)+(x4+y4)=(x1+x2+x3+x4)+(y1+y2+y3+y4)=0,所以x+y在V中.

对V中任意x=(x1,x2,x3,x4)和任意实数a,ax=(ax1,ax2,ax3,ax4),而ax1+ax2+ax3+ax4=a(x1+x2+x3+x4)=0,所以ax在V中,

所以V是R4的子空间.

（2）维数为3.(1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)是其一组基底.