Question

平面内一动点P到点F（2，0）的距离比它到直线x+3=0的距离少1

Answer 1

解题思路：（1）由抛物线定义可判断曲线为抛物线，从而可知p=2，得到方程；

（2）设直线AB：my=x-2，代入y²=8x，得y²-8my-16=0，利用韦达定理、中点坐标公式可表示M坐标，进而表示k_OM=f（α），分m=0，m＞0，m＜0三种情况讨论，然后运用基本不等式可求斜率范围；

（1）由题意知动点P的轨迹是以F为焦点、x=-2为准线的抛物线，

∴动点P的轨迹方程是y²=8x；

（2）设直线AB：my=x-2，代入y²=8x，得y²-8my-16=0，

则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，

x₁+x₂=（my₁+2）+（my₂+2）=8m²+4，

∴M（4m²+2，4m），

∴k_OM=f（α）=[4m

4m2+2=

2m

2m2+1，

当m=0时，k_OM=0；

当m＞0时，0＜k_OM=

2

2m+

1/m]≤

2

2

2m•

1

m=

2

2，当且仅当m=

2

2时取等号；

当m＜0时，0＞k_OM=[2

2m+

1/m＝

−2

−2m−

1

m]≥

−2

2

−2m•

1

−m=-

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 该题考查抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系，考查斜率公式、基本不等式等知识，考查分类讨论思想．