解题思路：（1）由f （x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为[2π/ω]，求得f （x）的最小正周期．
（2）由f （x）有最大值求得A，由最高点的坐标求得φ的值，可得f （x）的解析式．
（3）化简f（[2/3]α+[π/12]）的解析式为4cos2α，再由f（[2/3]α+[π/12]）=[12/5]，求得cos2α的值．
（1）∵f （x）=Asin（3x+φ），∴T=[2π/3]，即f （x）的最小正周期为 [2π/3]．
（2）∵当x=[π/12]时，f （x）有最大值4，∴A=4．
∴4=4sin（3×[π/12]+φ），∴sin（[π/4]+φ）=1．
即[π/4]+φ=2kπ+[π/2]，得：φ=2kπ+[π/4]（k∈Z）．
∵0＜φ＜π，∴φ=[π/4]，∴f （x）=4sin（3x+[π/4]）．
（3）∵f（[2/3]α+[π/12]）=4sin[3（[2α/3]+[π/12]）+[π/4]]=4sin（2α+[π/2]）=4cos2α=[12/5]，
∴cos2α=[3/5]．
点评：
本题考点： 三角函数的周期性及其求法；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
考点点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，属于基础题．