Question

已知函数f（x）=[1/3]x3+[1/2]ax2+bx+c的两个极值点分别为x1和x2，有f（x1）=x2，f（x2）

Answer 1

解题思路：求导数f′（x），由题意知x₁，x₂是方程x²+ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程（f（x））²+af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．

∵f（x）=[1/3]x³+[1/2]ax²+bx+c有极值点x₁，x₂，

∴f′（x）=x²+ax+b，

且x₁，x₂是方程x²+ax+b=0的两根，

不妨设x₂＞x₁，

由（f（x））²+af（x）+b=0，

则有两个f（x）使等式成立，

x₂=f（x₁），x₂＞x₁=f（x₂），

如图所示：

有4个交点，

故答案为：4．

点评：

本题考点： 函数零点的判定定理．

考点点评： 本题主要考查函数零点的概念、函数的极值和函数的导数之间的关系，利用是数形结合是解决本题的关键．