Question

如图，AB=10，AC=8，BC=6，M是AB的中点，点D在线段AC上，且D是MN的中点，ME⊥AC于点E，NF⊥AC于

Answer 1

解题思路：（1）先由勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，进而得ME∥BC，求得ME=12BC=3，再根据ME∥FN即可求得NF的长；（2）先用x表示出ED，再在在Rt△MED中，由勾股定理即可得答案；（3）延长MA到P，使MA=AP；连接MC，并延长到Q，使MC=CQ；连接PQ，则不论x取何值，点N总在PQ上．再分三种情况讨论即可．

（1）∵AC²+BC²=8²+6²=100，AB²=10²=100；

∴AB²=AC²+BC²．

∴∠ACB=90°．

∵ME⊥AC于点E，

∴∠AEM=∠ACB=90°．

∴ME∥BC．

∵M是AB的中点，

∴ME=

1

2BC=3．

∵D是MN的中点，

∴MD=ND．

∵NF⊥AC于点F，

∴ME∥FN．

∴[FN/ME=

ND

MD]．

∴NF=ME=3；

（2）∵ME∥BC，M是AB的中点，

∴AE=EC=[1/2AC=4．

∴ED=x-4．

∴在Rt△MED中，由勾股定理得，

DM²=ME²+DE²，

即y²=3²+（x-4）²，

y²=x²-8x+25；

（3）延长MA到P，使MA=AP；

连接MC，并延长到Q，使MC=CQ；

连接PQ，则不论x取何值，点N总在PQ上．

①作AN₁⊥AC，如图1交PQ于点N₁，

则⊙N₁与AC相切于点A．

设MN₁与AC交于点D₁，x=

1

2]AE=[1/2×4，此时，x=2．

②作AN₂⊥AB，如图2，交PQ于点N₂，

则⊙N₂与AB相切于点A．

设MN₂与AC交于点D₂，则有3²+（4-x）²=x²，

解得x=

25

8]．

③取点N₃，如图3，使N₃到BC的距离等于A N₃，

则⊙N₃与BC相切．设MN₃与AC交于

点D₃，则有3²+（2x-4）²=（12-2x）²

解得x=

119

32．

点评：

本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题主要考查了圆的切线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等，综合性较强．