如图,AB=10,AC=8,BC=6,M是AB的中点,点D在线段AC上,且D是MN的中点,ME⊥AC于点E,NF⊥AC于

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  • 解题思路:(1)先由勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°,进而得ME∥BC,求得ME=12BC=3,再根据ME∥FN即可求得NF的长;(2)先用x表示出ED,再在在Rt△MED中,由勾股定理即可得答案;(3)延长MA到P,使MA=AP;连接MC,并延长到Q,使MC=CQ;连接PQ,则不论x取何值,点N总在PQ上.再分三种情况讨论即可.

    (1)∵AC2+BC2=82+62=100,AB2=102=100;

    ∴AB2=AC2+BC2

    ∴∠ACB=90°.

    ∵ME⊥AC于点E,

    ∴∠AEM=∠ACB=90°.

    ∴ME∥BC.

    ∵M是AB的中点,

    ∴ME=

    1

    2BC=3.

    ∵D是MN的中点,

    ∴MD=ND.

    ∵NF⊥AC于点F,

    ∴ME∥FN.

    ∴[FN/ME=

    ND

    MD].

    ∴NF=ME=3;

    (2)∵ME∥BC,M是AB的中点,

    ∴AE=EC=[1/2AC=4.

    ∴ED=x-4.

    ∴在Rt△MED中,由勾股定理得,

    DM2=ME2+DE2

    即y2=32+(x-4)2

    y2=x2-8x+25;

    (3)延长MA到P,使MA=AP;

    连接MC,并延长到Q,使MC=CQ;

    连接PQ,则不论x取何值,点N总在PQ上.

    ①作AN1⊥AC,如图1交PQ于点N1

    则⊙N1与AC相切于点A.

    设MN1与AC交于点D1,x=

    1

    2]AE=[1/2×4,此时,x=2.

    ②作AN2⊥AB,如图2,交PQ于点N2

    则⊙N2与AB相切于点A.

    设MN2与AC交于点D2,则有32+(4-x)2=x2

    解得x=

    25

    8].

    ③取点N3,如图3,使N3到BC的距离等于A N3

    则⊙N3与BC相切.设MN3与AC交于

    点D3,则有32+(2x-4)2=(12-2x)2

    解得x=

    119

    32.

    点评:

    本题考点: 圆的综合题.

    考点点评: 本题主要考查了圆的切线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等,综合性较强.