解析：
由题意不妨令M=(2x)的lgy 次幂,那么：
lgM=lg[(2x)的lgy次幂]=lgy*lg(2x)
由于x>2分之1,y>1,则有：lg(2x)>0,lgy>0
所以由均值定理有：lg(2x)+lgy≥2根号[lg(2x)*lgy]
即：2根号[lg(2x)*lgy]≤lg(2xy)=lg10=1 (当且仅当lg(2x)=lgy即x=2分之根号10,y=根号10取等号)
所以：根号[lg(2x)*lgy]≤2分之1
即 lg(2x)*lgy≤4分之1
也就是：lgM≤4分之1
即：M≤10的4分之1次幂
所以当x=2分之根号10,y=根号10时,M=(2x)的lgy 次幂有最大值为10的4分之1次幂.