如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D作DE∥BC,DE交AB的延长线于点E,连接AD、

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  • 解题思路:(1)根据圆周角定理及平行线的性质不难求解;(2)要使DE是圆的切线,那么D就是切点,AD⊥DE,又根据AD过圆心O,BC∥ED,根据垂径定理可得出D应是弧BC的中点.(3)可通过构建直角三角形来求解,连接BO、AO,并延长AO交BC于点F,根据垂径定理BF=CF,AF=R+OF,那么直角三角形OBF中可以用R表示出OF,OB,然后根据勾股定理求出半径的长.

    (1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,

    ∴∠ABC=∠C.

    ∵DE∥BC,

    ∴∠ABC=∠E,

    ∴∠E=∠C,

    又∵∠ADB=∠C,

    ∴∠ADB=∠E;

    (2)当点D是弧BC的中点时,DE是⊙O的切线(如图1).

    理由是:∵当点D是弧BC的中点时,AB=AC,

    ∴AD是BC的垂直平分线,

    ∴AD是直径,

    ∴AD⊥BC,

    ∴AD过圆心O,

    又∵DE∥BC,

    ∴AD⊥ED.

    ∴DE是⊙O的切线;

    (3)过点A作AF⊥BC于F,连接BO(如图2),

    则点F是BC的中点,BF=[1/2]BC=3,

    连接OF,则OF⊥BC(垂径定理),

    ∴A、O、F三点共线,

    ∵AB=5,

    ∴AF=4;

    设⊙O的半径为r,在Rt△OBF中,OF=4-r,OB=r,BF=3,

    ∴r2=32+(4-r)2

    解得r=[25/8],

    ∴⊙O的半径是[25/8].

    点评:

    本题考点: 切线的判定;平行线的性质;等腰三角形的性质;勾股定理;垂径定理;圆周角定理.

    考点点评: 本题主要考查了圆周角定理,切线的判定,平行线的性质,垂径定理等知识点,正确运用好圆心角,弧,弦的关系是解题的关键.