解题思路:(1)根据圆周角定理及平行线的性质不难求解;(2)要使DE是圆的切线,那么D就是切点,AD⊥DE,又根据AD过圆心O,BC∥ED,根据垂径定理可得出D应是弧BC的中点.(3)可通过构建直角三角形来求解,连接BO、AO,并延长AO交BC于点F,根据垂径定理BF=CF,AF=R+OF,那么直角三角形OBF中可以用R表示出OF,OB,然后根据勾股定理求出半径的长.
(1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵DE∥BC,
∴∠ABC=∠E,
∴∠E=∠C,
又∵∠ADB=∠C,
∴∠ADB=∠E;
(2)当点D是弧BC的中点时,DE是⊙O的切线(如图1).
理由是:∵当点D是弧BC的中点时,AB=AC,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴AD是直径,
∴AD⊥BC,
∴AD过圆心O,
又∵DE∥BC,
∴AD⊥ED.
∴DE是⊙O的切线;
(3)过点A作AF⊥BC于F,连接BO(如图2),
则点F是BC的中点,BF=[1/2]BC=3,
连接OF,则OF⊥BC(垂径定理),
∴A、O、F三点共线,
∵AB=5,
∴AF=4;
设⊙O的半径为r,在Rt△OBF中,OF=4-r,OB=r,BF=3,
∴r2=32+(4-r)2
解得r=[25/8],
∴⊙O的半径是[25/8].
点评:
本题考点: 切线的判定;平行线的性质;等腰三角形的性质;勾股定理;垂径定理;圆周角定理.
考点点评: 本题主要考查了圆周角定理,切线的判定,平行线的性质,垂径定理等知识点,正确运用好圆心角,弧,弦的关系是解题的关键.