Question

已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a2，a4成等比数列；

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），由等差数列的通项公式列出方程，求出a₁与q的关系，再代入a_n化简；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出b_n，利用分组求和法，等比、等差数列的前n项和公式求出数列{b_n}的前n项和S_n．

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），

因为a₁，a₂，a₄成等比数列，所以a22＝a1•a4，

则(a1+d)2＝a1•(a1+3d)，化简得，a₁=d，

由a₁=1得，d=1，

所以a_n=1+（n-1）=n；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=a_n+2^a_n=n+2ⁿ，

所以S_n=b₁+b₂+…+b_n

=（1+2+…+n）+（2+2²+…+2ⁿ）

=

n(n+1)

2+

2(1−2n)

1−2=

n(n+1)

2+2n+1−2

=

n2+n−4

2+2n+1．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查了等比数列的通项公式、等比、等差数列的前n项和公式，以及数列的求和方法：分组求和法，根据数列的通项公式特点选择恰当的方法求解．