Question

在△ABC中,点P是边AC上的一个动点,过点P作直线MN‖BC,设MN交∠BCA的外角平分线于点E,交∠BCA的外角平于

Answer 1

（1）∵CE平分∠BCA,

∴∠BCE=∠ECP,

又∵MN‖BC,

∴∠BCE=∠CEP,

∴∠ECP=∠CEP,

∴PE=PC；

同理PF=PC,

∴PE=PF；

（2）当点P运动到AC边中点时,四边形AECF是矩形．理由如下：

由（1）可知PE=PF,

∵P是AC中点,

∴AP=PC,

∴四边形AECF是平行四边形．

∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD,

且∠BCA+∠ACD=180°,

∴∠ECF=∠ECP+∠PCF= 1/2（∠BCA+∠ACD）= 1/2×180°=90°,

∴平行四边形AECF是矩形；

（3）证明：若四边形AECF是正方形,则AC⊥EF,AC=2AP．

∵EF‖BC,

∴AC⊥BC,

∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,

∴cos∠A= AC:BC=2AP:BC= √3,

∴∠A=30°．