Question

已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．

Answer 1

（1）由x+ky-3=0得，（x-3）+ky=0，

所以直线过定点（3，0），即F为（3，0）．

设椭圆C的方程为

x 2

a 2 +

y 2

b 2 =1（a＞b＞0），

则

c=3

a+c=8

a 2 = b 2 + c 2 解得

a=5

b=4

c=3

故所求椭圆C的方程为

x 2

25 +

y 2

16 =1．

（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以

m 2

25 +

n 2

16 =1．

从而圆心O到直线l的距离

d=

1

m 2 + n 2 =

1

m 2 +16(1-

1

25 m 2 ) =

1

9

25 m 2 +16 ＜1．

所以直线l与圆O恒相交．

又直线l被圆O截得的弦长

L=2

r 2 - d 2 =2

1-

1

m 2 + n 2 =2

1-

1

9

25 m 2 +16 ，由于0≤m ²≤25，

所以16≤

9

25 m ²+16≤25，则L∈[

15

2 ，

4

6

5 ]，

即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[

15

2 ，

4

6

5 ]．