解题思路：（1）可先根据P点的坐标，用顶点式二次函数通式设出抛物线的解析式，然后将A点的坐标代入抛物线中，即可求出二次函数的解析式，进而可求得B点的坐标．然后根据A、B两点的坐标求出直线AB的解析式．
（2）可假设存在这样的点M，若四边形MNPA为梯形，那么只有一种可能即NP∥MA，可通过构建相似三角形来求出N点的坐标．由于N点在抛物线上，因此可根据抛物线的解析式设出N点的坐标，假设直线AB与x轴的交点为R（R的坐标可通过直线AB的解析式求得），过A作AS⊥x轴于S，可通过证三角形NPQ和ARS相似来得出关于NQ，AS，QP，SR的比例关系式，据此可求出N点的横坐标，然后将N点的横坐标代入直线AB的解析式中即可求出M的坐标．
（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x-1）2．
∴a（2-1）2=1，
∴a=1
∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1．（1分）
当x=−
1
2时，m=（-[1/2]）2-2×（-[1/2]）+1=[9/4]，
设直线AB的解析式为y=kx+b
∴
−
1
2k+b＝
9
4
2k+b＝1，
解得
k＝−
1
2
b＝2．
∴直线AB的解析式为y=-[1/2]x+2．
（2）假设符合条件的点M存在．
由题意可知，MN不平行于AP，
∴梯形的两底只能是NP、MA．
设AB与x轴相交于点R，MN的延长线与x轴相交于点Q，作AS⊥x轴于点S，
由y=-[1/2]x+2知点R的坐标为（4，0）．
∵NP∥MA
∴∠NPQ=∠ARS，
∵∠NQP=∠ASR=90°
∴Rt△NPQ∽Rt△ARS
∴[NQ/AS＝
QP
SR]
设N点的坐标为（x，x2-2x+1），
则有
x2−2x+1
1＝
1−x
2，
解得x=[1/2]，x=1（舍去）．
当x=[1/2]时，y=-[1/2]×[1/2]+2=[7/4]．
∴符合条件的点M存在，其坐标为（[1/2]，[7/4]）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查了一次函数和二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、梯形的判定和性质等知识点．
主要考查学生数形结合的数学思想方法．