在边长a=根号下(25+12根号3)的正三角形ABC内有一点P;且PA^2+PB^2=PC^2;PC=5;求PA、PB的

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  • 解析:以A为顶点做∠PAD=60°,使AD=AP,连接CD,易得△APD为正三角形,

    ∴PA=PD=AD,∠ADP=60°,

    易证△ADC≌△APB,∴CD=PB,

    由PA^2+PB^2=PC^2,得PD^2+CD^2=PC^2

    则△PDC是∠PDC=90°的直角三角形,

    ∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°,

    在△ADC中,AC^2=AD^2+CD^2-2*AD*CD*cos150°

    =PA^2+PB^2+√3*PA*PB

    即25+12√3=5*5+√3*PA*PB

    ∴PA*PB=12

    联立PA^2+PB^2=PC^2=25,

    解之得,PA=4,PB=3或PA=3,PB=4

    把三角形APB逆时针旋转60度,得一新三角形AQC,连结PQ,

    则△ABP≌△AQC,AQ=AP,《PAQ=60度,△APQ是正△,

    AP=AQ=PQ,

    AP^2+BP^2=PC^2,

    则根据勾股定理逆定理,△PQC是RT△,

    《PQC=90度,

    〈AQP=60度,

    〈AQC=150度,

    在三角形ACQ中,根据余弦定理,

    AC^2=AQ^2+QC^2-2AQ*QC*cos150°,

    设AQ=x,CQ=y,

    25+12√3=25+xy√3,

    xy=12,(1)

    x^2+y^2=25,(2)

    (1)*2+(2)式,

    (x+y)^2=49,

    x+y=7,(3)

    x=3,或x=4,

    y=3 或y=4,

    ∴PA=AQ=3,或PA=4,

    PB=QC=4,或PB=3.