Question

（2010•奉贤区一模）数列{an}的前n项和记为Sn，前kn项和记为Skn（n，k∈N*），对给定的常数k，若S(k+

Answer 1

解题思路：（1）利用a_n=S_n-S_n-1可以推导出数列a_n为等比数列，然后将a₁=2，q=4代入等比数列的通项公式即可求出数列{a_n}的通项公式；

（2）根据（1）中求出的an的通项公式便可求出cn的通项公式为cn=2n-1，然后求出

S

2n

S

n

为定值，便可证明数列c_n是一个“1 类和科比数列”；

（3）根据题中“k类和科比数列”的定义，将

S

(k+1)n

S

kn

=t便可求出D与b₁的关系，继而可以求出常数t的表达式．

（1）联立：

Sn＝

4

3an−

2

3

Sn−1＝

4

3an−1−

2

3(n≥2)，

∴[4/3an−

4

3an−1＝an，

∴

an

an−1＝4(n≥2)，

所以{a_n}是等比数列，

由 a1＝

4

3a1−

2

3]，得 a₁=2，

故 a_n=2•4^n-1 =2^2n-1 ．

（2）c_n=2n-1前n项的和S_n=n²（1分）

S_2n=4n² ，

S2n

Sn＝4，

所以数列{a_n}是一个“1类和科比数列”．

（3）对任意一个等差数列数列b_n，首项b₁，公差D，

Skn＝knb1+

kn(kn−1)

2D．

S(k+1)n＝(k+1)nb1+

(k+1)n((k+1)n−1)

2D，

S(k+1)n

Skn＝

(k+1)b1+

(k+1)((k+1)n−1)

2D

kb1+

k(kn−1)

2D＝t，对一切n∈N^*恒成立，

2（k+1）b₁+（k+1）（（k+1）n-1）=2ktb₁+k（kn-1）Dt对一切n∈N^*恒成立，

（k+1-kt）（2b₁-D）=n•D（k²t-（k+1）²）对一切n∈N^*

点评：

本题考点： 数列递推式；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查了等差数列的基本性质以及数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．