Question

已知AB是圆O的一条弦,且AB=2cm,点P是圆O上的一个动点,sin∠APB=1/3,请问是否存在以A、B、P为顶点且

Answer 1

1.弦AB对的弧是劣弧的情况,此时AB对的圆周角就是∠APB,P为优弧AmB上任意点,考虑△APB的面积,底是AB,高为点P到AB的距离,显然圆弧上的点到AB距离最长的点存在,就是弦AB垂直平分线（直径）交优弧AmB的点P0,因此△AP0B的面积最大.

在△AP0B中,设弦AB的中点为C,连结OA,OB,Rt△OAC中,∠AOC=1/2∠AOB=∠AP0B,因此半径R=AC/sin∠AOC=3cm,OC=2√2cm,因此△AP0B高为CP0=OC+R=3+2√2cm,面积为3+2√2cm².

2.若弦AB对的弧是优弧,此时无论P在何处,高线都不可能超过半径R的长,因此不存在更大的三角形面积.