Question

均值不等式问题,已知a,b,c属于R,且a/(b+c)=b/(a+c)-c/(a+b),证明b/(a+c)≥（√17-1

Answer 1

你题中条件应该有误,a,b,c应该大于0.

证明：由条件,有

b/(a+c)=c/(a+b)+a/(b+c),

令a+b=x,b+c=y,c+a=z,则

a=(x+z-y)/2,b=(x+y-z)/2,c=(y+z-x)/2,

从而原条件可化为：

(x+y)/z=(y+z)/x + (z+x)/y -1 = y/x +x/y + z/x +z/y -1≥ 2+ z/x + z/y -1 = z/x + z/y +1 ≥ 4z/(x+y) +1,

令(x+y)/z=t,则

t≥4/t +1,

解得

t ≥ (1+√17)/2 或 t≤(1-√17)/2,

故

b/(a+c)=(x+y-z)/(2z)= t/2 - 1/2 ≥ (√17-1)/4