设椭圆C:
(a〉b>0)的左焦点为
，椭圆过点P（
）
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点D(l,0),直线l:
与椭圆C交于A、B两点，以DA和DB为邻边的四边形是菱形，求k的取值范围.
解 （1）由题意知
，b2 = a2－3，由
得 2a4－11a2 + 12 = 0，
所以（ a 2－4）（2 a 2－3）= 0，得 a 2= 4或
（舍去），
因此椭圆 C 的方程为
．……………… 4分
（2）由
得
．
所以4 k 2+ 1＞0，
，
得 4 k 2+ 1＞ m 2． ① ……………… 6分
设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）， AB 中点为 M （ x 0， y 0），
则
，
，
于是
，
，
．
设菱形一条对角线的方程为
，则有 x =－ ky + 1．
将点 M 的坐标代入，得
，所以
．②
将②代入①，得
，
所以9 k 2＞4 k 2+ 1，解得 k ∈
． ……………… 12分
法2：
则由菱形
对角线互相垂直，即直线 l 与
垂直，由斜率的负倒数关系可整理得
，即－3 km = 4 k 2+ 1，即
， 代入①即得．
法3： 设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）， AB 中点为 M （ x 0， y 0），
则
，
，于是，两式相减可得
，
即 x 0+ 4 ky 0 = 0．①
因为 QD ⊥ AB ，所以
．②
由①②可解得
，
，表明点 M 的轨迹为线段
（
）．
当
， k ∈（
，+∞）；当
， k ∈（－∞,
）．
综上， k 的取值范围是 k ∈
．
略