解题思路:(1)延长DE,CB,相交于点R,作BM∥PC,交DR于点M.根据题意得∠AQE=∠EMB,可证得△AEQ≌△BEM,△AED≌△BER.则AD=BR=BC,再根据BM∥PC,证出RBM∽△RCP,即可得出PC=2AQ.
(2)作BN∥AF,交RD于点N,则△RBN∽△RFP.则[BN/PF=
RB
RF
=
2
3].还可证明△BNE≌△APE.根据相似三角形的性质得出S△PFC=S梯形APCQ.
(1)证明:
证法一:延长DE,CB,相交于点R,作BM∥PC,交DR于点M.
∵AQ∥PC,BM∥PC,
∴MB∥AQ.
∴∠AQE=∠EMB
∵E是AB的中点,D、E、R三点共线,∴AE=EB,∠AEQ=∠BEM.
∴△AEQ≌△BEM.
∴AQ=BM.
同理△AED≌△BER.
∴AD=BR=BC.
∵BM∥PC,
∴△RBM∽△RCP,相似比是1:2.
∴PC=2MB=2AQ.
证法二:连接AC,交PQ于点K,易证△AKE∽△CKD,
∴[AE/DC=
AK
KC=
1
2].
∵AQ∥PC.
∴△AKQ∽△CKP.
∵[AK/KC=
1
2],
∴[AQ/PC=
1
2],
即PC=2AQ.
(2)S△PFC=S梯形APCQ.
作BN∥AF,交RD于点N.
∴△RBN∽△RFP.
∵△RBM∽△RCP,相似比是1:2,
∴RB:RC=1:2,即B为RC的中点,
∴RB=BC,又F是BC的中点,
∴RB=
2
3RF.
∴[BN/PF=
RB
RF=
2
3].
易证△BNE≌△APE.
∴AP=BN.
∴AP=
2
3PF.
因PFC(视PC为底)与梯形APCQ的高的比等于△PFC与△PQC中PC边上的高的比,
易知等于PF与AP的比,于是可设△PFC中PC边上的高h1=3k,梯形APCQ的高h2=2k.再设AQ=a,则PC=2a.
∴S△PFC=
1
2×2ah1=3ka,
S梯形APCQ=
1
2(AQ+PC)h2=
1
2(a+2a)•2k=3ka.
因此S△PFC=S梯形APCQ.
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质;梯形.
考点点评: 本题是一道综合性很强的题目,考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形和梯形的性质,难度较大.
1年前
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