Question

一道八年级数学题如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H.

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AE∥CF,AB=CD,

∵E是AB中点,F是CD中点,

∴AE=CF,

∴四边形AECF是平行四边形,

∴AF∥CE．

同理可得DE∥BF,

∴四边形FGEH是平行四边形；

（2）当平行四边形ABCD是矩形时,平行四边形EHFG是菱形．

∵四边形ABCD是矩形

∴∠ABC=∠DCB=90°,

∵E是AB中点,F是CD中点,

∴BE=CF,

在△EBC与△FCB中,

∵BE=CF∠ABC=∠DCBBC=BC,

∴△EBC≌△FCB,

∴CE=BF,

∠ECB=∠FBC,

BH=CH,

EH=FH,

平行四边形EHFG是菱形；

（3）当平行四边形ABCD是矩形,并且AB=2AD时,

平行四边形EHFG是正方形．

∵E,F分别为AB,CD的中点,且AB=CD,

∴AE=DF,且AE∥DF,

∴四边形AEFD为平行四边形,

∴AD=EF,

又∵AB=2AD,E为AB中点,则AB=2AE,

于是有AE=AD=12AB,

这时,EF=AE=AD=DF=12AB,∠EAD=∠FDA=90°,

∴四边形ADFE是正方形,

∴EG=FG=12AF,AF⊥DE,∠EGF=90°,

∴此时,平行四边形EHFG是正方形．